JAK MOC VAŠE DÍTĚ VYROSTE | Věda a život
Grafy statistické závislosti výšky syna (S) a dcery (D) na výšce jejich rodičů (P + M). Hranice zastíněné oblasti nám umožňují odhadnout, jaká bude s 90% pravděpodobností skutečná výška dětí.
Mladí rodiče samozřejmě chtějí vědět, jak vysoké bude jejich dítě v dospělosti. V antropometrické kanceláři se obvykle ptají: jaká je výška otce (П), matka (М), jak vysoké byly při narození a jak staré jsou nyní. Tato data jsou okamžitě zpracována počítačem a poskytují předpověď: až děti vyrostou, nejpravděpodobnější výška dcery (Д) nebo syn (С) bude takhle. Očekávaný růst můžete odhadnout sami pomocí kalkulačky, aniž byste se obraceli na lékaře.
Hlavním faktorem ovlivňujícím výšku dětí je geneticky daná výška jejich rodičů. Statistické studie ukazují, že na tom závisí asi polovina růstu dítěte. A zbývajících padesát procent je mnohem obtížnější nebo zcela nemožné zohlednit. Jde o těžko kontrolovatelný nebo zcela nekontrolovatelný životní styl, dobré a špatné návyky, kvalitu výživy, podmínky prostředí, mutagenní změny.
Matematická statistika však může nabídnout jednoduchý lineární vztah k přiblížení výšky dětí pouze na základě výšky otce a matky a také naznačit přesnost takového odhadu. Průzkum tří desítek rodin umožnil sestavit statistický vztah – „mrak bodů“ uvnitř elipsy protažené doprava a nahoru: skutečně, čím větší jsou rodiče, tím větší jsou jejich děti. Ale použití „mračna bodů“ je nepohodlné. Matematici hledají takovou přímku nebo křivku, která jí prochází, aby po zadání hodnoty na ose úsečky mohli získat odpovídající hodnotu na ose y s co nejmenší chybou. Toho se obvykle dosahuje pomocí tzv. metody nejmenších čtverců, hledající lineární funkci y = Kx + bKde К — součinitel sklonu přímky (tangens jejího úhlu s osou úsečky), b – segment odříznutý na svislé ose.
Optimální hodnota К je obzvláště snadné vypočítat, pokud z povahy problému přímka prochází počátkem. V našem problému to přirozeně takto nepůjde (růst nemůže být roven nule) a vzorce pro výpočet К и b se ukázaly být těžkopádnější, i když ne nad rámec školní algebry.
Jejich závěr lze nalézt v knize: Ya. B. Zeldovich, A. D. Myshkis. „Prvky aplikované matematiky“. M.: Nauka, 1965 a pozdější vydání.
V našem úkolu x = П + М, y = Д nebo y = С. Průzkumem Moskvanů bylo získáno několik desítek hodnot rodičovské výšky (П и М) a děti (Д и С). Výpočty uvedené pro dceru К = 0,505, b = 5 cm; pro mého syna
К = 0,57, b = 14,5 cm.
V důsledku toho byl pro výpočet očekávané výšky dcery získán následující vzorec: Д = 0,505(П + +М) – 5 cm Například výška otce je 180 cm, výška matky 161 cm, celkem 341 cm vynásobením poslední hodnoty 0,505 a odečtením 5 cm získáme očekávanou výšku dospělé dcery 167,2. cm Ve vzorci pro odhad výšky dospělého syna musíte místo 0,505 vzít 0,57 a odečíst místo 5 cm 14,5 cm: С = 0,57(П + М) – 14,5. Například u stejných rodičů bude výška dospělého syna s největší pravděpodobností 179,9 cm.
V teorii pravděpodobnosti se vypočítané (výška dětí) i počáteční hodnoty (výška rodičů) nazývají náhodné proměnné. Zde jsme zjistili pouze nejpravděpodobnější výšku dospělého syna a dcery. Odchylky jsou samozřejmě možné, lze je snadno pozorovat u bratrů nebo sester v plném souladu se zákonem normálního rozdělení náhodných veličin – v přírodě nejrozšířenější. Na grafu má tento zákon tvar křivky ve tvaru zvonu: uprostřed je nejpravděpodobnější hodnota náhodné veličiny, na obou stranách jsou odchylky, jejichž pravděpodobnost rychle spěje k nule, jak se zvětšují (tj. se také nazývá Gaussova křivka podle velkého německého matematika Carla Gausse, který odvodil analytickou formu zákona normálního rozdělení – viz „Věda a život“ č. 2, 1995). Matematická statistika také dokáže odhadnout nejpravděpodobnější odchylky od predikované hodnoty, jak se často říká: hodnota je plus mínus tolik. Chcete-li to provést, musíte nejprve nastavit úroveň spolehlivosti odhadu – obvykle 90, 95 nebo 99 %. V posuzovaném případě je poměrně silný rozptyl náhodných veličin, je rozumné nastavit hladinu spolehlivosti na 90 %. Poměrně složité výpočty umožňují získat tzv. hyperbolické regresní zóny spolehlivosti (na obrázku jsou stínované), nebo jednoduše hodnoty pravděpodobných odchylek od přímky.
Konečná odpověď by měla znít asi takto: pokud je výška otce 180 cm a matka 161 cm, pak nejpravděpodobnější výška jejich dospělé dcery bude 167,5 cm a odchylka od této hodnoty nepřesáhne plus ani mínus 4 cm s pravděpodobností 90 %.
Velikost statistického vzorku shromážděného studenty je malá – pouhých třicet bodů. Přesnost výpočtů proto také není tak velká – plus mínus 4-5 cm Ve seriózní vědecké práci se zpracování dat pro lidi provádí na reprezentativních vzorcích (tento termín se nyní často používá při zveřejňování dat z průzkumů veřejného mínění. a znamená, že je lze zobecnit na velmi velkou populační skupinu) asi tisíc lidí. Zároveň se nám zdá, že přesnost řešení tohoto problému se příliš nezvýší ani u velkých vzorků; Zřejmě nebude vyšší než plus minus 3-4 cm z fyziologických, genetických a environmentálních důvodů ovlivňujících vývoj člověka. Chtěli jsme za prvé dát jednoduchou příležitost každému, kdo chtěl uspokojit svůj přirozený osobní zájem. A za druhé nabídnout studentům, kteří studují teorii pravděpodobnosti a matematické statistiky (které se nyní vyučují v celé řadě oborů) a jejich učitelům zajímavé a zajímavé téma pro řešení statistického problému. Je dost možné, že dostanou reprezentativnější vzorky a najdou přesnější a spolehlivější vzorce pro předpovídání růstu našich dětí.